admin / 30.05.2019

Машинная штукатурка стен, видео

Примеры законов распределения дискретных случайных величин.

Рассмотрим осуществление схемы Бернулли, т.е. прозводится серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие А имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания. И для каждого испытания имеются только два исхода:

1) событие А – успех;

2) событие — неуспех,

с постоянными вероятностями

Введем в рассмотрение дискретную случайную величину Х – «число появлений события А при п испытаниях» и найдем закон распределения этой случайной величины. Величина Х может принимать значения

Вероятность того, что случайную величину Х примет значение xk находится по формуле Бернулли

(1)

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли (1), называется биномиальным законом распределения. Постоянные п и р (q=1-p), входящие в формулу (1) называются параметрами биномиального распределения.

Название «биномиальное распределение» связано с тем, что правая часть в равенстве (1) это общий член разложения бинома Ньютона ,т.е.

(2)

А так как p+q=1, то правая часть равенства (2) равна 1

(3)

Это означает, что

(4)

В равенстве (3) первый член qn в правой части означает вероятность того, что в п испытаниях событие А не появится ни разу, второй член вероятность того, что событие А появится один раз, третий член – вероятность, что событие А появится два раза и наконец, последний член рп – вероятность того, что событие А появится ровно п раз.

Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины представляют в виде таблицы:

Х 0 1 k n
Р qn рп

Основные числовые характеристики биномиального распределения:

1) математическое ожидание (5)

2) дисперсия (6)

3) среднее квадратическое отклонение (7)

4) наивероятнейшее число появление события k0 – это число которому при заданном п соответствует максимальная биномиальная вероятность

При заданных п и р это число определяется неравенствами

(8)

если число пр+р не является целым, то k0 равно целой части этого числа, если же пр+р – целое число, то k0 имеет два значения

Биномиальный закон распределения вероятностей применяется в теории стрельбы, в теории и практике статистического контроля качества продукции, в теории массового обслуживания, в теории надежности и т.д. Этот закон может применяться во всех случаях, когда имеет место последовательность независимых испытаний.

Пример 1: Проверкой качества установлено, что из каждых 100 приборов не имеют дефекты 90 штук в среднем. Составить биномиальный закон распределения вероятностей числа качественных приборов из приобретенных наугад 4.

Решение: Событие А – появление которого проверяется это – «приобретенный наугад прибор качественный». По условию задачи основные параметры биномиального распределения:

Случайная величина Х – число качественных приборов из взятых 4, значит значения Х —Найдем вероятности значений Х по формуле (1):

Таким образом, закон распределения величины Х — число качественных приборов из взятых 4:

Х 0 1 2 3 4
Р 0,0001 0,0036 0,0486 0,2916 0,6561

Для проверки правильности построения распределения проверим чему равна сумма вероятностей

Ответ: Закон распределения

Х 0 1 2 3 4
Р 0,0001 0,0036 0,0486 0,2916 0,6561

Пример 2: Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 95 % случаев. Пятеро больных применяли данный метод. Найти наивероятнейшее число выздоровевших, а так же числовые характеристики случайной величины Х – число выздоровевших из 5 больных применявших данный метод.

Решение: Событие А — больной применявший лечение выздоровел, тогда основные параметры биномиального распределения:

По формуле (8) найдем наивероятнейшее число выздоровевших из 5. Найдем получили не целое число значитравно целой части, т.е. .

Теперь найдем числовые характеристики Х – число выздоровевших из 5 больных применявших данный метод лечения:

1) математическое ожидание по формуле (5)

2) дисперсия по формуле (6)

3) среднее квадратическое отклонение по формуле (7)

Ответ:

Биноминальное распределение

В настоящей и нескольких следующих заметках мы рассмотрим математические модели случайных событий. Математическая модель — это математическое выражение, представляющее случайную величину. Для дискретных случайных величин это математическое выражение известно под названием функция распределения.

Если задача позволяет явно записать математическое выражение, представляющее случайную величину, можно вычислить точную вероятность любого ее значения. В этом случае можно вычислить и перечислить все значения функции распределения. В деловых, социологических и медицинских приложениях встречаются разнообразные распределения случайных величин. Одним из наиболее полезных распределений является биномиальное.

Биномиальное распределение используется для моделирования ситуаций, характеризующихся следующими особенностями.

  • Выборка состоит из фиксированного числа элементов n, представляющих собой исходы некоего испытания.
  • Каждый элемент выборки принадлежит одной из двух взаимоисключающих категорий, исчерпывающих все выборочное пространство. Как правило, эти две категории называют успех и неудача.
  • Вероятность успеха р является постоянной. Следовательно, вероятность неудачи равна 1 – р.
  • Исход (т.е. удача или неудача) любого испытания не зависит от результата другого испытания. Чтобы гарантировать независимость исходов, элементы выборки, как правило, получают с помощью двух разных методов. Каждый элемент выборки случайным образом извлекается из бесконечной генеральной совокупности без возвращения или из конечной генеральной совокупности с возвращением.

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel2207

Биномиальное распределение используется для оценки количества успехов в выборке, состоящей из n наблюдений. Рассмотрим в качестве примера оформление заказов. Чтобы сделать заказ клиенты компании Saxon Company могут воспользоваться интерактивной электронной формой и послать ее в компанию. Затем информационная система проверяет, нет ли в заказах ошибок, а также неполной или недостоверной информации. Любой заказ, вызывающий сомнения, помечается и включается в ежедневный отчет об исключительных ситуациях. Данные, собранные компанией, свидетельствуют, что вероятность ошибок в заказах равна 0,1. Компания хотела бы знать, какова вероятность обнаружить определенное количество ошибочных заказов в заданной выборке. Например, предположим, что клиенты заполнили четыре электронных формы. Какова вероятность, что все заказы окажутся безошибочными? Как вычислить эту вероятность? Под успехом будем понимать ошибку при заполнении формы, а все остальные исходы будем считать неудачей. Напомним, что нас интересует количество ошибочных заказов в заданной выборке.

Какие исходы мы можем наблюдать? Если выборка состоит из четырех заказов, ошибочными могут оказаться один, два, три или все четыре, кроме того, все они могут оказаться правильно заполненными. Может ли случайная величина, описывающая количество неправильно заполненных форм, принимать какое-либо иное значение? Это невозможно, поскольку количество неправильно заполненных форм не может превышать объем выборки n или быть отрицательным. Таким образом, случайная величина, подчиняющаяся биномиальному закону распределения, принимает значения от 0 до n.

Допустим, что в выборке из четырех заказов наблюдаются следующие исходы:

Какова вероятность обнаружить три ошибочных заказа в выборке, состоящей из четырех заказов, причем в указанной последовательности? Поскольку предварительные исследования показали, что вероятность ошибки при заполнении формы равна 0,10, вероятности указанных выше исходов вычисляются следующим образом:

Поскольку исходы не зависят друг от друга, вероятность указанной последовательности исходов равна: р*р*(1–р)*р = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Если же необходимо вычислить количество вариантов выбора X объектов из выборки, содержащей n элементов, следует воспользоваться формулой сочетаний (1):

где n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 — факториал числа n, причем 0! = 1 и 1! = 1 по определению.

Это выражение часто обозначают как . Таким образом, если n = 4 и X = 3, количество последовательностей, состоящих из трех элементов, извлеченных из выборки, объем которой равен 4, определяется по следующей формуле:

Следовательно, вероятность обнаружить три ошибочных заказа вычисляется следующим образом:

(Количество возможных последовательностей) *
(вероятность конкретной последовательности) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Аналогично можно вычислить вероятность того, что среди четырех заказов окажутся один или два ошибочных, а также вероятность того, что все заказы ошибочны или все верны. Однако при увеличении объема выборки n определить вероятность конкретной последовательности исходов становится труднее. В этом случае следует применить соответствующую математическую модель, описывающую биномиальное распределение количества вариантов выбора X объектов из выборки, содержащей n элементов.

Биноминальное распределение

где Р(Х) — вероятность X успехов при заданных объеме выборки n и вероятности успеха р, X = 0, 1, … n.

Обратите внимание на то, что формула (2) представляет собой формализацию интуитивных выводов. Случайная величина X, подчиняющаяся биномиальному распределению, может принимать любое целое значение в диапазоне от 0 до n. Произведение рX(1 – р)n – X представляет собой вероятность конкретной последовательности, состоящей из X успехов в выборке, объем которой равен n. Величина определяет количество возможных комбинаций, состоящих из X успехов в n испытаниях. Следовательно, при заданном количестве испытаний n и вероятности успеха р вероятность последовательности, состоящей из X успехов, равна

Р(Х) = (количество возможных последовательностей) * (вероятность конкретной последовательности) =

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение формулы (2).

1. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными? Используя формулу (2), получаем, что вероятность обнаружить три ошибочных заказа в выборке, состоящей из четырех заказов, равна

2. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех окажутся ошибочными? Как показано в предыдущем примере, вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными, равна 0,0036. Чтобы вычислить вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех будут неправильно заполнены, необходимо сложить вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными, и вероятность того, что среди четырех заполненных форм все окажутся ошибочными. Вероятность второго события равна

Таким образом, вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех окажутся ошибочными, равна

Р(Х > 3) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм менее трех окажутся ошибочными? Вероятность этого события

Р(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Используя формулу (2), вычислим каждую из этих вероятностей:

Следовательно, Р(Х < 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Вероятность Р(Х < 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х> 3. Тогда Р(Х< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

По мере увеличения объема выборки n вычисления, аналогичные проведенным в примере 3, становятся затруднительными. Чтобы избегать этих сложностей, многие биномиальные вероятности табулируют заранее. Некоторые из этих вероятностей приведены рис. 1. Например, чтобы получить вероятность, что Х = 2 при n = 4 и p = 0,1, следует извлечь из таблицы число, стоящее на пересечении строки Х = 2 и столбца р = 0,1.

Рис. 1. Биномиальная вероятность при n = 4, Х = 2 и р = 0,1

Биномиальное распределение можно вычислить с помощью функции Excel =БИНОМ.РАСП() (рис. 2), имеющей 4 параметра: число успехов – Х, число испытаний (или объем выборки) – n, вероятность успеха – р, параметр интегральная, принимающий значения ИСТИНА (в этом случае вычисляется вероятность не менее Х событий) или ЛОЖЬ (в этом случае вычисляется вероятность точно Х событий).

Рис. 2. Параметры функции =БИНОМ.РАСП()

Для вышеприведенных трех примеров расчеты приведены на рис. 3 (см. также Excel-файл). В каждом столбце приведено по одной формуле. Цифрами показаны ответы на примеры соответствующего номера).

Рис. 3. Расчет биноминального распределения в Excel для n = 4 и p = 0,1

Свойства биномиального распределения

Биномиальное распределение зависит от параметров n и р. Биномиальное распределение может быть, как симметричным, так и асимметричным. Если р = 0,05, биномиальное распределение является симметричным независимо от величины параметра n. Однако, если р ≠ 0,05, распределение становится асимметричным. Чем ближе значение параметра р к 0,05 и чем больше объем выборки n, тем слабее выражена асимметрия распределения. Таким образом, распределение количества неправильно заполненных форм смещено вправо, поскольку p = 0,1 (рис. 4).

Рис. 4. Гистограмма биномиального распределения при n = 4 и p = 0,1

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению объема выборки n на вероятность успеха р:

(3) Μ = Е(Х) = np

В среднем, при достаточно долгой серии испытаний в выборке, состоящей из четырех заказов, может оказаться р = Е(Х) = 4 х 0,1 = 0,4 неправильно заполненных форм.

Стандартное отклонение биномиального распределения

Например, стандартное отклонение количества неверно заполненных форм в бухгалтерской информационной системе равно:

Предыдущая заметка Ковариация и ее применение в финансовом деле

Следующая заметка Гипергеометрическое распределение

К оглавлению Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 307–313

Суть машинной штукатурки

Чем отличается штукатурка машинного нанесения от ручного труда? Повсеместная автоматизация и механизация производственных процессов не обошла стороной и штукатурные работы. Физический труд по нанесению раствора взяла на себя штукатурная станция.

Для работы в нее заливается вода и засыпается сухая штукатурная смесь. Специальные шнеки хорошо протирают сухие компоненты и подают в емкость для замешивания, откуда под высоким давлением через рукав и растворный пистолет смесь подается на стену.

Чтобы раствор не прилипал к рабочим поверхностям машинки (стенкам бака и рукаву), в него вносятся специальные добавки. Работает станция только на сухих смесях заводского приготовления. В помещениях используются гипсовые штукатурки, снаружи цементно-песчаные смеси.

Такое распределение объяснимо:

  • Штукатурка, где один из компонентов гипс, на улице не применяется;
  • Цементно-песчаные смеси значительно тяжелее гипсовых растворов. Поэтому штукатурной машине намного сложнее с ними работать, в результате чего скорость подачи штукатурки падает в 1,5-2 раза.

При этом возрастает износ шнеков, замена которых выливается в значительные суммы. Естественно, никто в помещении штукатурить цементным раствором не будет.

Преимущества и недостатки машинной штукатурки

Мастера, работающие на штукатурных станциях, обычно отмечают только положительные моменты в механизированном нанесении раствора:

  • Отсутствие тяжелого физического труда;
  • Скорость выполнения работ возрастает в 3-4 раза;
  • Материалы для машинного нанесения штукатурки по цене дешевле, чем аналогичные смеси для ручного способа работы;
  • Расход материалов меньше, чем при штукатурке вручную;
  • Сама стоимость работ почти в два раза ниже (от 220 руб./м2 при работе со станцией и 550 руб./м2 при нанесении 3-х слоев кельмой);
  • Качество работ выше:
  1. смесь подается под высоким давлением, что способствует лучшему сцеплению штукатурки со стеной;
  2. штукатурный раствор более однородный по составу, так как перетирается двумя шнеками, в результате чего поверхность штукатурки практически не трескается;
  3. исключаются ошибки в приготовлении смеси — ее консистенция заложена в станцию программой.

Недостатков профессионалы не видят. По их мнению, вопрос — «какая штукатурка лучше, ручная или механизированная» — на повестке дня вообще не должен стоять.

Однако, если внимательно изучить технологию работы штукатурной станции, можно обнаружить как прямые, так и относительные недостатки:

  • Высокий уровень шума, что исключает работу в ночное время — это относительный недостаток, так как днем соседи поймут и потерпят;
  • Работа на трехфазном токе (есть только в квартирах с электрическими плитами);
  • Длительный период сушки штукатурки — 7-8 дней;
  • Большое время на обслуживание станции в начале и конце смены, что обязательно будет отражено в цене работ при разных объемах штукатурки (подготовка станции к работе по регламенту должна длиться 2 часа и еще 2 часа уходит на мойку оборудования после ее окончания);
  • Нельзя гипсом оштукатуривать стены в ванной и на кухне под плитку. Производители сухих растворов пишут на упаковке, что смеси можно наносить на стены во влажных помещениях, в том числе и в ванной. Но нигде не указано, что на такую штукатурку можно укладывать плитку. Практика показывает, что она рвется и отстает на гипсовой штукатурке. Штукатуры машинной станции выполнили работы и ушли, а что стало с плиткой потом, они могут и не знать;
  • Обязательная установка штукатурных уголков во внутренние углы, что повышает стоимость работ.

Уголок перфорированный штукатурный.

Что лучше, машинная или ручная штукатурка

Приведенные выше преимущества механической штукатурки, казалось бы, однозначно и безоговорочно хоронят старый метод штукатурки — ручной. Однако, чтобы разобраться не предвзято, какая штукатурка лучше, машинная или ручная, необходимо провести сравнительный анализ. Только тогда можно увидеть различие между этими методами.

Так как здесь речь идет об индивидуальных заказчиках, будем параллельно рассматривать индивидуальный дом и квартиру, то есть заказы на работы от 50 м2 до 250 м2.

  1. По цене сухая смесь для штукатурных станций дешевле, чем аналогичная для работы кельмой. Звучит убедительно и при этом соответствует истине. Но кто сказал, что при ручной штукатурке будут применяться смеси на основе гипса? Они очень неудобны в работе и финансово затратные. Применение цемента, песка и бетономешалки ведет к тому, что материалы при ручной работе стоят в 2-3 раза меньше. И чем толще штукатурный слой, тем заметнее разница.
  2. Действительно, при применении сухого раствора при работе машинной станции на 1 м2 экономится 3 кг штукатурки (расход 13 кг против 16 кг соответственно). Но при замене ее на цементно-песчаную штукатурку, это преимущество исчезает из-за низкой цены штукатурной смеси.
  3. Качество работ выше. Отличие машинной штукатурки от ручной, в области качества штукатурки, мнимое. При соблюдении технологий, разница в качестве не наблюдается. Проблема более интенсивного растрескивания поверхности в цементной штукатурке решается с помощью фибры из стекловолокна. Ее применение более эффективно удерживает штукатурный слой от усадки и растрескивания, чем в гипсовом растворе, нанесенном механизированным способом.
  4. Только ручным способом можно штукатурить ванную и туалет из-за гипсового раствора. Оптимальный вариант — доверить эти работы плиточнику, чтобы не возникало впоследствии проблем с качеством уложенной плитки — не будут друг на друга вину перекладывать.

Как видим, преимущества штукатурных станций пока не обнаруживаются. Возможно, они есть в стоимости работ, что часто является решающим аргументом.

Что дешевле

Цены на штукатурные работы машинным способом начинаются от 220 руб./м2 (данные по Санкт-Петербургу), при ручной штукатурке — от 250-300 руб./м2 за первый слой из-за необходимости проведения подготовительных работ и около 550 руб./м2 при нанесении 3-х слоев.

На первый взгляд, здесь все очевидно. Но не все так просто. Если с ценником штукатуров с кельмой все понятно, то у другой стороны он формируется на основе множества факторов.

1. Указанная цена применяется при объеме работ от 2 000 м2 и больше. С уменьшением объема растет стоимость штукатурных работ. Заказчик может возразить — машинной станцией работы выполнятся за 5-6 часов. Я за них заплачу и останусь в выигрыше. Но здесь опускаются важные моменты:

  • Необходимо время на подготовку поверхности и установку маяков. Они будут включены в расценку;
  • Остаются неоштукатуренные откосы — они делаются только вручную. В расценке их нет и быть не может. Пригласить на эти работы со стороны не получится — профессионалы всегда отказывают, так как мороки много, а денег мало. Мастера механизированной штукатурки берут за такие работы в 1,5-2 раза больше, так как их работа в целом ценится значительно выше;
  • В расценку закладывается время переездов, подготовки станции к работе, мойка ее по окончании смены. Эти суммы значительные, при этом фиксированные. Одно дело поделить десятки тысяч рублей на 2 000 м2, и другое, на 50-250 м2.

2. В цене за работы не учитывается стоимость электроэнергии. Платить придется хозяину квартиры.

3. Еще одна особенность машинной штукатурки — в расценку не включаются работы по установке штукатурных уголков. Они оплачиваются отдельно.

Чтобы до конца понять, что лучше — механизированная или ручная штукатурка стен, проведем укрупненный расчет стоимости работ на 100 м2 стены.

Машинная штукатурка:

  • расценка — 350 руб./м2;
  • толщина слоя 1 см;
  • норма расхода сухой штукатурки на 1 м2 — 13 кг;
  • цена штукатурки — 410 руб./мешок («Волма», 25 кг) или 16,4 руб./кг.

Стоимость материалов составит 42 640 рублей. Заработная плата — 35 000. Остальные затраты для простоты расчетов не будем учитывать. Всего придется выложить из семейного бюджета 77 640 рублей.

При работе вручную потребуется:

  • цемент М400 — 350 кг (14 мешков весом 25 кг по цене 235 руб./упаковка) на сумму 3 290 руб.;
  • мелкий песок — 1 500 кг на сумму 3 000 руб. (30 мешков весом 50 кг по цене 100 руб. за упаковку);
  • доставка с подъемом в квартиру — 4 000 руб.;
  • фибра из стекловолокна — 200 руб.

Внимание: цены на цемент могут значительно различаться в зависимости от производителя. Для расчетов выбран портландцемент из средней ценовой категории. Есть цемент и по 135 руб./мешок.

Всего закупить стройматериалов необходимо на сумму 10 490 руб. Заработная плата составит 55 000 руб. (100 м2 х 550 руб./м2). Всего затраты на штукатурные работы — 65 490 рублей.

Расчеты без слов показывают достоинства и недостатки каждого вида штукатурных работ.

Приведенные аргументы говорят — выбор у частного заказчика один: цемент, песок, бетономешалка.

FILED UNDER : Справочник

Страницы